J'essaie de comprendre la dérivation de l'équation d'énergie cinétique turbulente, comme décrit dans ce lien: Évaluation des modèles de turbulence RANS pour les problèmes d'écoulement avec un impact significatif des couches limites.
Je suis capable de suivre l'équation 2.26 de la diapositive 11 (c.-à-d. page 9), qui indique
$$ \ rho \ overline {\ frac {\ partial u_i '} {\ partial t } u_i '} + \ rho \ left (\ overline {u_j \ frac {\ partial u_i} {\ partial x_j} u_i} - \ bar {u} _j \ frac {\ partial u_i'} {\ partial x_j} \ bar {u} _i \ right) = - \ overline {\ frac {\ partial p '} {\ partial x_j} u_i'} + \ nu \ overline {u_i '\ nabla ^ 2u_i'} + \ rho \ frac {\ partial (\ overline {u_i'u_j '})} {\ partial x_j} \ bar {u} _i, $$
où les overbars indiquent les moyennes d'ensemble des quantités sous les barres. Notez qu'ici, la moyenne d'un produit n'est pas nécessairement égale au produit de la moyenne de chaque terme.
Selon le lien, en utilisant uniquement des règles de calcul de moyenne, le terme
$$ \ left (\ overline {u_j \ frac {\ partial u_i} {\ partial x_j} u_i} - \ bar {u} _j \ frac {\ partial u_i '} {\ partial x_j} \ bar {u} _i \ right) $$
peut être simplifiée pour devenir
$ $ \ overline {u_i '\ frac {u_i'} {\ partial x_j}} \ bar {u} _j + \ overline {\ frac {\ partial u_i '} {\ partial x_j} u_i'u_j'} + \ overline { \ frac {\ partial u_i '} {\ partial x_j} u_j'} \ bar {u} _i + \ overline {u_j'u_i '} \ frac {\ partial u_i} {\ partial x_j}. $$
Si je remplace ceci directement dans l'équation précédente, j'obtiens
$$ \ rho \ left (\ overline {\ frac {\ partial u_i '} {\ partial t} u_i'} + \ overline {u_i '\ frac {u_i'} {\ partial x_j}} \ bar {u} _j + \ overline {\ frac {\ partial u_i '} {\ partial x_j} u_i'u_j'} + \ underbrace {\ overline {\ frac {\ partial u_i '} {\ partial x_j} u_j'} \ bar {u} _i} _ {\ text {mon 4e trimestre}} + \ overline {u_j'u_i '} \ frac {\ partial u_i} {\ partial x_j} \ right) = - \ overline {\ frac {\ partial p '} {\ partial x_j} u_i'} + \ nu \ overline {u_i '\ nabla ^ 2u_i'} + \ rho \ frac {\ partial (\ overline {u_i'u_j '})} {\ partial x_j} \ bar {u} _i. $$
Cependant, leur dérivation donne
$$ \ rho \ left (\ overline {\ frac {\ partial u_i '} {\ partial t} u_i'} + \ overline {u_i '\ frac {u_i'} {\ partial x_j}} \ bar { u} _j + \ overline {\ frac {\ partial u_i '} {\ partial x_j} u_i'u_j'} + \ underbrace {\ overline {\ frac {\ partial u_i'u_j '} {\ partial x_j}} \ bar {u} _i} _ {\ text {leur 4e terme}} + \ overline {u_j'u_i '} \ frac {\ partial u_i} {\ partial x_j} \ right) = - \ overline {\ frac {\ partial p '} {\ partial x_j} u_i'} + \ nu \ overline {u_i '\ nabla ^ 2u_i'} + \ rho \ frac {\ partial (\ overline {u_i'u_j '})} {\ partial x_j} \ bar {u} _i. $$
La seule différence entre ma dérivation et la leur est le quatrième terme sur le côté gauche de l'équation. Je suis sûr que leur quatrième terme est correct, car il est censé s'annuler avec un terme sur le côté droit de l'équation. Cependant, je n'arrive pas à comprendre comment ils ont obtenu leur quatrième mandat sur la LHS de l'équation. Le lien suggère que la règle de chaîne et l'hypothèse d'incompressibilité sont impliquées, mais je ne sais pas comment.
En particulier, le terme overbar $ \ overline {u_i'u_j '} $ est traité comme un seul terme. Ainsi, comment puis-je appliquer la règle de chaîne à $ \ frac {\ partial (\ overline {u_i'u_j '})} {\ partial x_j} $?
Toute suggestion pour terminer les étapes manquantes serait grandement appréciée.