La manière de répondre à cette question est de transformer le modèle dynamique en coordonnées modales, et de voir ce qui arrive au terme de force.

Supposons que nous puissions décrire les propriétés de rigidité et de masse de la structure sous forme de matrices $ \ mathbf K $ et $ \ mathbf M $, et son déplacement en tant que vecteur $ \ mathbf x $, dans un système de coordonnées physiques, et nous appliquons un vecteur de forces qui varient de manière sinusoïdale dans le temps, $ \ mathbf F e ^ {i \ omega t} $ à la structure.

L'équation de mouvement du système est alors $$ (\ mathbf K - \ omega ^ 2 \ mathbf M) \ mathbf xe ^ {i \ omega t} = \ mathbf Fe ^ {i \ omega t} $$

Nous pouvons annuler les termes $ e ^ {i \ omega t} $ et réduire cela à $$ (\ mathbf K - \ omega ^ 2 \ mathbf M) \ mathbf x = \ mathbf F $$ (notez que j'ignore l'amortissement, pour simplifier les choses - cela n'affecte pas la conclusion finale).

Nous peut trouver les modes normaux du système et écrire les vecteurs propres sous forme de matrice $ \ mathbf \ Phi $.

On peut écrire les déplacements $ \ mathbf X $ comme une combinati linéaire l'une des valeurs propres, c'est-à-dire $ \ mathbf X = \ mathbf \ Phi \ xi $ où $ \ xi $ est un vecteur.

Remplacez cela dans l'équation du mouvement, et pré-multipliez les deux côtés par $ \ mathbf \ Phi ^ T $ et on obtient $$ \ mathbf \ Phi ^ T (\ mathbf K - \ omega ^ 2 \ mathbf M) \ mathbf \ Phi \ xi = \ mathbf \ Phi ^ T \ mathbf F $$ ou $$ (\ mathbf \ Phi ^ T \ mathbf K \ mathbf \ Phi - \ omega ^ 2 \ mathbf \ Phi ^ T \ mathbf M \ mathbf \ Phi) \ xi = \ mathbf \ Phi ^ T \ mathbf F $$

Maintenant, si nous utilisons des vecteurs propres normalisés en masse , nous savons que $ \ mathbf \ Phi ^ T \ mathbf M \ mathbf \ Phi $ est une matrice unitaire, et $ \ mathbf \ Phi ^ T \ mathbf K \ mathbf \ Phi $ est une matrice diagonale des valeurs propres au carré. L'équation matricielle devient donc un ensemble d'équations scalaires, et pour le mode $ i $ th, nous avons $$ (\ omega_i ^ 2 - \ omega ^ 2) \ mathbf \ xi_i = \ mathbf \ Phi_i ^ T \ mathbf F $$

La traduction de cette équation en mots répond à la question du PO: Pour chaque mode, vous prenez le produit scalaire de chaque valeur propre avec les forces appliquées pour trouver la "composante modale de la force" (c'est-à-dire le terme de droite de l'équation finale ), et à partir de là, vous pouvez trouver l'amplitude relative de ce mode (ie $ \ xi_i $).

Dans de nombreux cas, nous n'appliquons une force qu'à un seul degré de liberté de la structure. Ensuite, le résultat est assez intuitif - il y a deux effets qui sont pertinents, lorsqu'ils sont pris ensemble:

1. En regardant le côté droit de l'équation finale, Le les modes qui seront les plus excités sont ceux avec les plus grands déplacements au point où la force est appliquée .

2. En regardant le côté gauche de la même équation, Les modes qui seront le plus excités sont ceux dont les fréquences propres sont proches de la fréquence de forçage .

Premièrement, l'application d'une charge constante n'excitera aucun mode. Vous avez besoin d'une charge variable dans le temps pour induire des vibrations (par exemple, vent, sismique, explosion). Les modes excités dépendront du contenu de fréquence du chargement appliqué.

Pour un problème statique, vous pouvez déterminer les déplacements d'une structure en utilisant uniquement les forces et la rigidité de la structure en utilisant des équations statiques pour les manuels:

$ F_ {normal} = K \ Delta \\ M_ {bending} = EI \ phi \\ T_ {torsion} = GJ \ psi $

Notez qu'aucune de ces équations ne dépend du temps. Pour la plupart des problèmes de génie civil, l'application des charges est suffisamment lente pour que les forces d'inertie soient très faibles par rapport aux autres forces, elles sont donc négligées (à l'exception des charges de vent et de tremblements de terre qui nécessitent souvent une analyse dynamique).

Les modes de vibration d'une structure nécessitent une analyse dynamique, ils ne dépendent donc pas uniquement de la rigidité de la structure, ils dépendent également de sa répartition de poids et dans une moindre mesure de son amortissement. Pour déterminer les modes de vibration d'une structure, il faut connaître au moins sa rigidité et sa masse (et comment elle est répartie). L'exemple le plus simple est une masse M sur roues liée à un ressort horizontal de rigidité K. La fréquence propre de ce système serait:

$$ f = 2 \ pi \ sqrt \ frac {K} M $ $

Notez ici que pour obtenir la fréquence naturelle du système, aucune charge externe n'a dû être appliquée. Puisque notre cas est unidirectionnel, il est assez simple de déterminer dans quelle direction une charge externe devrait aller pour exciter notre structure (à la fréquence calculée bien sûr).

Pour les cas plus complexes, la masse est généralement distribuée (plutôt que ponctuelle) et la rigidité est souvent en flexion, cisaillement et torsion en plus de l'axe. Pour ces cas plus complexes, nous travaillerons généralement aussi avec plus d'un degré de liberté, vous aurez donc plusieurs équations avec plusieurs variables à résoudre (généralement en utilisant l'analyse par éléments finis). En utilisant l'analyse par éléments finis, votre masse sera représentée comme une matrice M de n par n éléments et votre rigidité par une matrice K de n par n éléments, où n est votre nombre de degrés de liberté. En utilisant des valeurs propres, nous pouvons résoudre une équation très similaire à celle ci-dessus pour obtenir n modes de vibration et n fréquences propres.

Chaque mode de vibration couplé à sa fréquence naturelle vous donne des informations sur la façon de charger chaque degré de liberté si vous voulez obtenir une résonance. Tout autre chargement avec une autre fréquence n'excitera pas un seul mode, vous ne pouvez donc connaître le comportement de tout autre système qu'avec des calculs plus complexes.